## Studio di Funzioni: Note Complete Queste note forniscono una panoramica completa dello studio di funzioni, coprendo concetti chiave, esempi e suggerimenti per evitare errori comuni. ### 1. Dominio e Codominio Il **dominio** di una funzione è l'insieme di tutti i valori di input ($x$) per cui la funzione è definita. Il **codominio** è l'insieme di tutti i possibili valori di output ($y$). L'**immagine** è il sottoinsieme del codominio che contiene effettivamente i valori assunti dalla funzione. Consideriamo la funzione $f(x) = \frac{1}{x}$. Il dominio è $(-\infty, 0) \cup (0, \infty)$ perché la funzione non è definita per $x=0$. Il codominio è tipicamente considerato come $\mathbb{R}$, ma l'immagine è $(-\infty, 0) \cup (0, \infty)$. Per trovare il dominio, cerca valori che renderebbero la funzione indefinita, come divisioni per zero o radici quadrate di numeri negativi. ### 2. Intersezioni con gli Assi L'**intersezione con l'asse y** si trova ponendo $x=0$ nell'equazione della funzione. L'**intersezione con l'asse x** (o **zeri** della funzione) si trovano ponendo $y=0$ e risolvendo per $x$. Per la funzione $f(x) = x^2 - 4$, l'intersezione con l'asse y è $f(0) = -4$. Le intersezioni con l'asse x si trovano risolvendo $x^2 - 4 = 0$, che dà $x = \pm 2$. Ricordati che una funzione può avere più intersezioni con l'asse x, ma solo una intersezione con l'asse y. ### 3. Segno della Funzione Determinare il segno della funzione significa trovare gli intervalli in cui $f(x) > 0$ (positiva) e $f(x) < 0$ (negativa). Questo si fa studiando le intersezioni con l'asse x e il comportamento della funzione tra queste intersezioni. Per $f(x) = x^2 - 4$, la funzione è positiva per $x < -2$ e $x > 2$, e negativa per $-2 < x < 2$. Un grafico può essere molto utile per visualizzare il segno della funzione. ### 4. Limiti e Asintoti I **limiti** descrivono il comportamento della funzione quando $x$ si avvicina a un certo valore o all'infinito. Gli **asintoti** sono rette a cui il grafico della funzione si avvicina ma non interseca. Possiamo avere asintoti verticali, orizzontali e obliqui. Gli asintoti verticali si verificano generalmente in punti dove la funzione non è definita. Per $f(x) = \frac{1}{x}$, $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \infty$ e $\lim_{x \to 0^-} f(x) = -\infty$, indicando un asintoto verticale in $x=0$. $\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$ e $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$, indicando un asintoto orizzontale in $y=0$. ### 5. Derivata Prima e Crescenza/Decrescenza La **derivata prima**, $f'(x)$, indica la pendenza della funzione in ogni punto. Se $f'(x) > 0$, la funzione è crescente; se $f'(x) < 0$, la funzione è decrescente. I punti in cui $f'(x) = 0$ o $f'(x)$ non esiste sono punti critici, potenziali massimi o minimi locali. Ricorda di studiare il segno della derivata prima per determinare gli intervalli di crescenza e decrescenza. ### 6. Derivata Seconda e Concavità La **derivata seconda**, $f''(x)$, indica la concavità della funzione. Se $f''(x) > 0$, la funzione è concava verso l'alto (convessa); se $f''(x) < 0$, la funzione è concava verso il basso. I punti di flesso sono punti in cui la concavità cambia. Non confondere massimi/minimi locali con punti di flesso. ### 7. Grafico della Funzione Una volta studiati tutti questi aspetti, si può tracciare il grafico della funzione, riassumendo tutte le informazioni ottenute. Questo è solo un riassunto; ogni aspetto richiede uno studio più approfondito con esempi e esercizi. Ricorda di praticare molto per padroneggiare questi concetti!